سوالات یک میلیون دلاری ریاضی!

به گزارش مجله خبری نگار، با این همه پیشرفت علم و فناوری، سوالات و مسائل حل‌نشده‌ای از قدیم در دنیای ریاضیات وجود دارد که باهوش‌ترین ریاضی دانان هم موفق به حل آن‌ها نشده‌اند؛ این سوالات به‌قدری مهم است که برای حل برخی از آن‌ها جایزه یک میلیون دلاری درنظر گرفته شده‌است. البته تمام مسائلی که در این مطلب به آن‌ها اشاره می‌شود، به‌ویژه «مسائل جایزه هزاره»، برای افراد معمولی مطرح نشده‌اند و حتی توضیح و فهم آن‌ها هم دشوار است، چه برسد به حل‌شان.

ریاضی دانان با تمرکز بر این مسائل درواقع تلاش می‌کنند مسیری به‌سمت آینده باز کنند و چه‌بسا راه‌حل بسیاری از آن‌ها نیازمند تکنیک‌هایی باشد که بشر قرن‌ها بعد به آن‌ها دست یابد. به‌همین دلیل حل این مسائل زمان‌دار نیست و هر زمانی که یک نفر بتواند حتی یکی از این مسائل دشوار را حل کند، پیشرفت‌های علمی سرعت بیشتری به خود می‌گیرند. این مسائل ریاضی درحقیقت به شکل‌گیری نظریه‌های جدید منجر خواهدشد و ارزش آن‌ها هم در همین نهفته است.

در پرونده امروز، برخی از مهم‌ترین و مشهورترین مسائل ریاضی حل‌نشده را در دو بخش مسائلی که به‌ظاهر ساده می‌آیند و مسائل یک‌میلیون دلاری دسته‌بندی کرده‌ایم تا با هم نگاهی گذرا به این دنیای پر رمزو‌راز داشته‌باشیم.

مسائل ریاضی حل‌نشده، اما به‌ظاهر آسان

شک نکنید هر مسئله ریاضی که تاکنون حل نشده‌است، به‌هیچ‌وجه ساده نیست. حل این مسائل یا کلا غیرممکن است یا با تکنیک‌های کنونی‌قابل حل نیست. با این‌حال، در دنیای ریاضی مسائلی وجود دارد که ساده به‌نظر می‌رسد؛ آن‌قدر ساده که هرکسی با دانشی ابتدایی از ریاضی می‌تواند آن‌ها را درک کند، اما اثبات این مسائل به‌قدری دشوار است که هیچ‌کس موفق به حل آن‌ها نشده‌است. در ادامه با فهرستی از مسائل به‌ظاهر ساده ریاضی که البته حل‌شان مشکل است، آشنا خواهیدشد.

بی‌نهایت بودن اعداد اول دوقلو

اعداد اول، اعدادی هستند که تنها بر خودشان و یک بخش‌پذیرند. تا آن‌جایی‌که ما می‌دانیم، تعداد اعداد اول بی‌شمار است و ریاضی‌دانان سخت درتلاش برای یافتن بزرگ‌ترین عدد اول بعدی هستند، اما تعدادی از اعداد اول هستند که حاصل تفریق آن‌ها ۲ است، مثل ۴۱ و ۴۳. آیا تعداد این اعداد هم بی‌نهایت است؟ هرچه اعداد اول بزرگ‌تر می‌شوند، یافتن این دوقلو‌ها سخت‌تر می‌شود، اما از لحاظ تئوری این اعداد هم باید بی‌نهایت باشند. مشکل این‌جاست که هنوز هیچ‌کسی نتوانسته این بی‌نهایت بودن اعداد اول دوگانه را اثبات کند.

مسئله حرکت دادن مبل

بیشتر ما احتمالا هنگام اثاث‌کشی به خانه جدید با مشکل جا‌به‌جا‌کردن مبل و حرکت‌دادن آن از میان راهرو‌های تنگ و کنج دیوار رو‌به‌رو شده‌ایم. سوالی که برای ریاضی دانان پیش می‌آید، این است: بزرگ‌ترین مبلی که صرف‌نظر از شکل آن می‌توانید بدون خم کردنش، از گوشه دیواری با زاویه ۹۰ درجه عبور دهید، چه ابعادی دارد؟

جالب است بدانید بزرگ‌ترین حجمی که بتواند در کنج یک زاویه ۹۰درجه جا شود، «ثابت مبل» نامیده می‌شود. هیچ‌کس به‌طور دقیق نمی‌داند این عدد چقدر است، اما مبل‌هایی هستند که در این زاویه جا می‌شوند و مبل‌هایی هستند که جا نمی‌شوند. برای همین می‌دانیم که این «ثابت»، باید چیزی بین ابعاد این دو حالت باشد. هم اکنون تنها چیزی که درباره این مسئله می‌دانیم این است که ثابت مبل باید چیزی بین ۲٫۲۱۹۵ و ۲٫۸۲۸۴ باشد.

حدس کولاتز

این حدس یکی از مشهورترین مسائل حل‌نشده ریاضی است و ازآن‌جایی‌که بسیار ساده به‌نظر می‌رسد، می‌توانید آن را برای کودکان دبستانی توضیح دهید و آن‌ها احتمالا آن‌قدر از این مسئله خوش‌شان بیاید که بخواهند جوابی برایش بیابند. مسئله کولاتز به این صورت است: ابتدا یک عدد به‌دلخواه انتخاب کنید. اگر این عدد زوج بود، آن را به ۲ تقسیم کنید و اگر فرد بود آن را در ۳ ضرب و سپس با یک جمع کنید. این مراحل را برای عدد جدید به‌دست‌آمده ادامه دهید. عددی که سرانجام به آن می‌رسید، همیشه یک خواهدبود. به‌عنوان مثال اگر عدد انتخابی ۶ باشد، انجام این مراحل، این اعداد را نشان خواهدداد: ۶، ۳، ۱۰، ۵، ۱۶، ۸، ۴، ۲، ۱. ریاضی دانان میلیون‌ها عدد یافته‌اند که از این قاعده پیروی می‌کند، اما مشکل این‌جاست که هنوز نتوانسته‌اند عددی پیدا کنند که طبق این قاعده پیش نرود. احتمال دارد که عددی بسیار بزرگ که میل به بی‌نهایت دارد یا عددی که در یک چرخه گیر کند، هرگز به یک نرسد، ولی تابه‌حال کسی نتوانسته این عدد را پیدا کند.

مسائل ریاضی حل‌نشده جایزه‌دار

مسائل «جایزه هزاره»، ۷ مسئله ریاضی هستند که توسط «انجمن ریاضی کِلی» در سال ۲۰۰۰ و برای جشن گرفتن هزاره جدید مطرح شده‌اند. هر کسی که بتواند یکی از این مسائل را حل کند، برنده یک‌میلیون دلار جایزه نقدی خواهدشد و حل‌کردن این مسائل تأثیرات بزرگی بر حوزه مربوط یا حتی فراتر از آن خواهدداشت. از میان این هفت مسئله، «حدس پوانکاره» در سال ۲۰۰۳ توسط «گریگوری پرلمان»، ریاضی دان روسی حل شد. البته او از قبول جایزه انجمن کلی و البته تمام جوایز و مدال‌های دیگر برای دستاوردهایش خودداری کرد. بیش از دو دهه از زمان مطرح شدن مسائل جایزه هزاره می‌گذرد و شش مسئله دیگر همچنان حل‌نشده باقی مانده‌اند. در ادامه به توضیح این مسائل خواهیم پرداخت، شاید شما بتوانید آن‌ها را حل کنید!

فرضیه ریمان

مهم‌ترین مسئله حل‌نشده در ریاضیات محض به «فرضیه ریمان» مشهور است. این مسئله را «برنهارت ریمان»، ریاضی‌دان آلمانی قرن نوزدهم مطرح کرده‌است که آثارش در زمینه آنالیز و هندسه دیفرانسیل، پایه ریاضی نظریه نسبیت عام شد. فرضیه ریمان از سال ۱۸۵۹ تاکنون حل‌نشده باقی مانده و به‌قدری دشوار است که «دیوید هیلبرت»، از تأثیرگذارترین ریاضی دانان در پیدایش و گسترش مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت، درباره آن می‌گوید: «اگر قرار بود بعد از هزار سال از خواب بیدار شوم، اولین سوالی که می‌پرسیدم این بود: آیا فرضیه ریمان اثبات شده است؟»

فرضیه ریمان درواقع از شما می‌خواهد اثبات کنید تابع زتای ریمان در چه شرایطی برابر با صفر است. (تصویر شماره ۲). این تابع درظاهر، ساده به‌نظر می‌رسد، اما پیچیدگی آن روی نمودار ظاهر می‌شود. برای مثال، به نمودار | (ζ (۱/۲+iy| (محور عمودی) به‌عنوان تابعی از y (محور افقی) نگاه کنید. همان‌طورکه می‌بینید، تابع زتا برای مقادیر ۱۴، ۲۱، ۲۵ و تا آخر روی محور افقی، به صفر نزدیک می‌شود.

به این‌ها صفر‌های تابع زتا می‌گویند و از اهمیت بسیاری برخوردارند، چراکه رفتارشان هیجان‌انگیز است. فرضیه ریمان هم درواقع گزاره‌ای درباره نحوه توزیع این صفرهاست. ریمان می‌گوید تابع زتا تنها زمانی به صفر می‌رسد که با اعداد صحیح زوج منفی و اعداد مختلط با قسمت واقعی ۱/۲ سروکار داشته‌باشیم.

مشکل این‌جاست که اگرچه بیش از ۲۵۰میلیون صفر این فرضیه را اثبات کرده‌اند، هنوز ثابت نشده که این موضوع برای تمام صفر‌ها صدق می‌کند! فرضیه ریمان از این حیث بسیار مهم است که اعداد اول (که فقط بر یک و خودشان تقسیم‌پذیرند) اساسی‌ترین و اسرارآمیزترین مفهوم در ریاضیات هستند. وقتی اعداد اول را به‌صورت مجموعه خطی پشت سر هم می‌نویسیم، هیچ الگویی در نحوه توزیع آن‌ها ظاهر نمی‌شود و به‌همین علت نمی‌توانیم تمام اعداد اول را پیش‌بینی کنیم، اما وقتی این اعداد را به کمک تابع زتای ریمان روی نمودار می‌آوریم، الگوی جالبی از صفر‌های ریمان روی آن ظاهر می‌شود که اگر بتوانیم آن را برای تمام اعداد ثابت می‌کنیم، آن‌وقت می‌توانیم بگوییم الگوی پنهان توزیع اعداد اول را سرانجام کشف کرده‌ایم.

به این‌ترتیب می‌توانیم با دقت بسیار بالا تعداد اعداد اول در هر بازه معینی را تعیین کنیم. شاید بپرسید داشتن تابعی برای تعریف اعداد اول اصلا چه اهمیتی دارد؟ بسیاری از ریاضی دانان، اعداد اول را به‌عنوان اتم‌های تشکیل‌دهنده تمام اعداد دیگر می‌بینند، چون می‌توانید با استفاده از اعداد اول به هر عددی برسید. در فرضیه ریمان، دامنه‌ای که روی خط عددی از مقادیری ایجاد می‌شود که تابع زتا را صفر می‌کند، همانند فواصل بین سطوح انرژی در سیستم‌های کوانتومی است و این یعنی نوعی رابطه بین اجزای سازنده اعداد با اعداد اول و اجزای سازنده ماده با اتم وجود دارد و حل این فرضیه ما را به درک جدیدی از ماده خواهد رساند.

حدس هاج

حدس هاج یکی از مسائل مهم حل‌نشده در هندسه جبری و هندسه مختلط است که چگونگی تشکیل ساختار‌های پیچیده ریاضی از اجزای ساده را بررسی می‌کند و درواقع می‌کوشد این دو مفهوم مختلف ریاضی را به هم پیوند دهد. در قرن بیستم، ریاضی دانان روش مهمی برای مشاهده و بررسی اجسام پیچیده کشف کردند؛ به‌این صورت که اجسامی را که به‌طور فزاینده‌ای بزرگ‌تر می‌شدند، کنار هم قرار می‌دهند تا به نزدیک‌ترین شکل به جسم اصلی برسند. این تکنیک به‌قدری مفید بود که در بسیاری از حوزه‌های دیگر هم به‌کار گرفته شد و درنهایت، اجسام پیچیده‌ای که ریاضی دانان به این روش دسته‌بندی کردند، در اختراعات شگفت‌انگیزی به‌کار رفتند. متأسفانه، ازطریق این تعمیم‌ها، خاستگاه هندسی این فرایند ازبین رفت و تلاش بر این بود که این اجزا بدون فرمول و پشتوانه هندسی به هم پیوند داده شوند. حالا حدس هاج می‌پرسد آیا برای این مفهوم، رابط هندسی وجود دارد؟

معادلات ناویه–استوکس

این معادله یکی دیگر از مسائل جایزه هزاره است که به مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مربوط می‌شود که حرکت سیالات تراکم‌پذیر را توصیف می‌کند. به‌طور خلاصه، معادلات ناویه-استوکس رفتار سیالات را توصیف می‌کند. این معادله با اعمال قانون دوم نیوتن درباره سیالات به‌دست می‌آید و پرواز هواپیماها، تولید برق، پیش‌بینی آب‌وهوا و حتی ساخت قایق و کشتی هم به آن وابسته است.

حتی شرکت پویانمایی «پیکسار» هم از معادلات ناویه-استوکس برای پویانمایی آثار خود استفاده می‌کند. این معادلات اگرچه ساده به‌نظر می‌رسند، در حالت سه‌بعدی به‌سرعت پیچیده می‌شوند. «چارلز ففرمن»، استاد دانشگاه پرینستون می‌گوید: «می‌توانید حل معادلات ناویر-استوکس را نسبتا به‌سادگی و با اعتمادبه‌نفس بالا شروع کنید، اما راه‌حل‌ها ممکن است به‌طرزی باورنکردنی غیرقابل‌پیش‌بینی باشند.» گفته می‌شود اگر ریاضی دانان بتوانند پدیده ناویه-استوکس را از این حالت غیرقابل پیش‌بینی بیرون آورند، تغییرات شگرفی در زمینه دینامیک سیالات حاصل خواهدشد.

مسئله P درمقابل NP

p درمقابل NP مسئله حل‌نشده مهمی در علوم کامپیوتر است و می‌پرسد آیا هر مسئله‌ای که صحت جواب‌های آن را بتوان به‌سرعت ارزیابی کرد (NP)، به‌سرعت هم قابل حل‌شدن است (P)؟ این مسئله را «استیون کوک»، دانشمند کامپیوتر در سال ۱۹۷۱ مطرح کرد. بیایید برای فهم بهتر این مسئله یک مثال بزنیم.

اگر به شما عددی را بدهند و بگویند این عدد از حاصل‌ضرب کدام دو عدد اول به‌دست آمده‌است، آیا می‌توانید به پاسخ درستی برسید؟ اگر این عدد کوچک باشد، جواب ساده است. مثلا ۱۵ از ضرب دو عدد ۵ و ۳ حاصل می‌شود، اما اگر عدد مدنظر ما ۲۰۰ رقم داشته‌باشد، سال‌ها زمان لازم است تا دو مضرب آن پیدا شود. حالا این سوال را برعکس کنیم؛ اگر به شما دو عدد اول بدهند و بگویند آیا از حاصل‌ضرب این دو، عدد x حاصل می‌شود، پیدا‌کردن جواب این سوال به‌راحتی انجام عملیات ضرب است.

به‌عبارت دیگر، شما با ضرب این دو عدد می‌توانید به‌سرعت صحت جواب را ارزیابی کنید، اما همان‌طور که دیدید، برعکس این قضیه آن‌قدر زمان می‌برد که حل آن تقریبا ناممکن است. در حوزه علوم کامپیوتر، مسئله‌ای که جوابش به‌سرعت تعیین می‌شود، P و مسئله‌ای که صرفا صحت جواب‌های آن به‌سرعت تأیید می‌شود، NP نام دارد. درواقع، این‌که مسائل بتوانند به‌سرعت حل شوند، یا به زبان علوم کامپیوتر، زمان اجرای الگوریتم آن‌ها «چند‌جمله‌ای» باشد، از اهمیت بسیاری برخوردار است؛ چراکه اگر حل مسئله‌ای بخواهد صد‌ها یا هزاران سال طول بکشد، حل آن عملا ناممکن است.

چه کسی به ریاضی دان‌ها بها می‌دهد؟

ریاضی برای بعضی‌ها آن‌قدر هولناک است که حتی اگر بابت حل کردن ساده‌ترین مسائل پول هم دریافت کنند، حاضر نیستند برایش وقت بگذارند. بعضی‌ها هم مثل آقای «پرلمان» پیدا می‌شوند که ریاضی آن‌قدر به‌خودی‌خود برای‌شان مهم است که اگر بابت حل کردن مسئله‌ای بهشان پول بدهند هم قبول نمی‌کنند. دنیای عجیبی است، عجیب‌تر آن‌که جا‌هایی وجود دارد که بابت حل کردن مسائل ریاضی به دانشمند‌ها پول می‌دهند در ادامه موسسه «کلی» را بیشتر می‌شناسیم و با دو جایزه معتبر دیگر آشنا می‌شویم.

کِلِی

کِلِی یک موسسه پژوهشی در زمینه ریاضیات است که «لندون کلی»، بازرگان آمریکایی آن را برای پشتیبانی مالی از پژوهشگران ریاضی تأسیس کرده‌است. این موسسه در ابتدای هزاره سوم میلادی، فهرست هفت‌تایی از مسئله‌های ریاضی را منتشر کرد. این هفت مسئله که به مسئله‌های «ملینیوم» معروف‌اند، از مشکل‌ترین مسئله‌های ریاضی هستند. «مریم میرزاخانی» سال ۲۰۱۴ موفق شد جایزه تحقیقاتی این موسسه را دریافت کند.

ابل

جایزه «ابل» از سوی پادشاه نروژ به ریاضی‌دانان برجسته اعطا می‌شود. سال ۲۰۰۱ دولت نروژ اعلام کرد به‌مناسبت بزرگداشت دویستمین سالگرد تولد ریاضی‌دان نروژی، «نیلز هنریک ابل» برای تبلیغ دانش ریاضیات و ایجاد علاقه به آن در میان مردم، به‌ویژه جوانان، جایزه جدیدی درنظر گرفته‌است. مبلغ این جایزه ۶ میلیون کرون سوئد (حدود یک‌میلیون دلار آمریکا) اعلام شد.

فیلدز

«فیلدز» اعتبار و ارزش معنوی بیشتر، اما ارزش مادی کمتری دارد. این جایزه مدالی است در رشته ریاضیات، هم تراز نوبل که هر چهار سال یک‌بار به دانشمندان کمتر از ۴۰ سالی اهدا می‌‏شود که کار ارزنده‌ای در ریاضیات انجام داده‌باشند؛ بنابراین برندگان مدال فیلدز، دانشمندان جوانی هستند که در آینده کار‌های بزرگ‌تری هم خواهند کرد. این مدال که سکه‌ای طلایی منقوش به نیم‌رخ ارشمیدس به همراه ۱۵ هزار دلار کاناداست، تا امروز به دو دانشمند زن تعلق گرفته‌است؛ اولین‌بار در سال ۲۰۱۴، «مریم میرزاخانی» و دومین‌بار، امسال به یک ریاضی‌دان زن اوکراینی به‌نام «مارینا ویازوفسکا».

منبع: خراسان